Proposições e Conectivos Lógicos

O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos utilizados para distinguir argumentos válidos daqueles que não são válidos.

O principal objetivo desta seção é ajudar o aluno a entender os princípios e métodos usados em cada etapa de uma demonstração. Sem alguns conceitos lógicos básicos, é impossível escrever e/ou entender uma demonstração. Quando demonstramos um teorema, estamos demonstrando a veracidade de certas declarações. Em geral estas declarações são compostas de proposições, quantificadores, conectivos e/ou modificadores.

O ponto inicial da lógica é o termo “proposição” usado em um sentido técnico. Por uma proposição entendemos uma sentença declarativa (afirmativa) ou uma afirmação verbal que é verdadeira ou falsa, mas não ambas simultaneamente. A designação Verdadeira (V) ou Falsa (F) de uma proposição é dita ser seu valor verdade ou seu valor lógico.

Exemplo 1.1. As seguintes afirmações são proposições:

  1. (eπ)2 = e2π.
  2. 6 é um número primo.
  3. Pedro tem olhos azuis.
  4. O dia 10 de agosto de 1935 foi uma quarta-feira.
  5. O 1000o digito da expansão decimal de √2 é 6.
  6. Existe vida inteligente em Marte.

Note que (a) é claramente V; (b) é claramente F; (c) é uma proposição pois é V ou F, mesmo que eu não conheça o Pedro; (d) é V ou F, mesmo que seja difícil saber a resposta; o mesmo vale para (e) e (f).

Exemplo 1.2. As seguintes afirmações não são proposições:

  • (eπ)2 é igual à e2π?
  • AH! se eu passar em Elementos!
  • x > 3.
  • 2 + 3i é menor que 5 + 3i.
  • x(x + 4) = x2 + 4x.
  • Esta proposição é falsa.
  • Hoje é terça-feira.
  • Está chovendo.

Note que (a) é interrogativa e não declarativa; (b) é exclamativa e não declarativa; (c) é uma sentença aberta, pode ser V ou F dependendo da variável x; (d) não é V ou F, pois não existe ordem em C; (e) não é uma proposição, o que seria proposição é “para todo x ∈ R, x(x+4) = x2+4x”; (f) é um paradoxo, viola a definição de proposição pois é V e F ao mesmo tempo; (g) é uma sentença aberta que depende da variável “hoje” assim como (h) depende da variável “tempo”.